原文引用的参考文献为：
【2】 Steenrod, N.E.， \"大众How to write Mathematics\"大众, Amer. Math. Soc. 1983, ISBN 0821800558
翻译：在百度翻译的根本上经人工校正改动了一些表述。由于水平有限，译文欠妥在所难免，建议有写作需求的读者下载原文进一步阅读。
一、弁言：为何要重视数学论文的写作？
好的数学写作，就像好的数学思维一样，是一项必须实践和进步才能达到最佳表现的技能。本文旨在为年轻数学家撰写第一篇论文供应帮助，其目的不仅是帮助学生写好一篇论文，而且帮助学生开始思考数学写作。
我非常感激一本精彩的小册子《如何写数学》（即前面先容的引文【2】——译者注），它供应了这篇文章的大部分内容。我将直接引述个中不少内容，特殊是引述保罗·霍尔莫斯（Paul Halmos）写的那一节。我疑惑，本文中险些所有的想法都来源于我阅读的这本小册子。它可以从美国数学学会得到，负责学习数学写作的学生该当自己查阅这本小册子。其他大多数想法都源于我对本人糟糕的数学写作的失落望。虽然从糟糕的数学写作中学习数学并不是学习好的写作的最佳办法，但它可以有效地供应避免犯错的借鉴。思维生动的数学读者应看重数学论文样本中那些看起来显得不清楚的地方，并避免在自己的写作中犯同样的缺点。
书面与口头的数学互换都是一个滤波器，透过它可以核阅你的数学事情。如果把数学事情的创造性方面用“作曲”来比喻，那么写作艺术就可以用“演奏曲子”来比喻。作为一名数学家，你有权对你自己的曲子进行演奏和演出！
对听众来说，谱曲与演奏同样主要。如果你纯粹是为了自己的兴趣而做数学，那么就没有情由去写它了。如果你希望分享你所做的数学之美，那么仅仅写是不足的——你必须努力把它写好。
本文将从数学写作的一样平常观点开始。目的是帮助学生制订论文大纲。下一节将描述论文的“正式”部分和“非正式”部分之间的差异，并为每一部分供应辅导原则。第四节将谈论如何书写一个独特的数学证明。本文的结尾部分是整整一节，个中包含在写作和重写论文时须要考虑的详细建议。
二、写作前：组织论文
险些所有写作的目的都是为了互换。为了更好地互换，你必须同时考虑你想要沟通的内容以及你希望与谁沟通。对付数学写作来说，这一点不亚于任何其他形式的写作。数学写作的紧张目的是用精心构建的逻辑推理来断言数学陈述的真实性。细心的数学读者不会假定你的事情是有根据的，除非他被说服。说服读者是你数学写作的第一个目标。
然而，仅仅向读者说服你的事情的真实性是不足的。当你书写你自己的数学研究时，你会有另一个目标：希望你的读者欣赏你所做的数学之美，并理解它的主要性。如果将全体数学或与你干系的子领域看作是一幅大型的绘画作品，那么你的研究将一定构成全体作品中相对眇小的一部分。它的俏丽不仅表示在对你所画的特定区域的稽核中（只管这很主要），而且通过不雅观察你自己的作品如何“融入”到整体画面中来。
这两个目标——说服你的读者相信你的推论的真实性，并让你的读者看到你的事情与全体数学的关系的俏丽——在你为论文制订大纲的时候，这将是至关主要的。有时，你可能会把自己当成一个导游，勾引读者穿越只有你自己绘制的区域。
一位成功的数学作家将为她的读者画出两幅逻辑图，一幅展示了她自己的作品与广阔的数学天下之间的联系，另一幅则揭示了她自己作品的内在逻辑构造。
为了给读者供应建议，你必须首先考虑你的作品在数学逻辑图上的位置。如果你的读者访问过数学逻辑图附近的地区，那么你想让他在他的脑海中回顾这些经历，这样他就能更好地理解你必须添加的内容，并将其与干系数学联系起来。问几个问题可能有助于你辨别你的事情的特色和定位：
你的结果是否通过对某个事物进行更精确的特性描述来强化先前的结果？你有没有通过削弱假设或加强结论来证明旧定理有更强有力的结果？你证明了两个定义的等价性了吗？它是一个构造的分类定理，以前被定义过但没有被理解？数学的两个先前不干系的方面是否联系在一起？对旧问题运用了新方法吗？是否为一个旧定理供应了新的证明？这是一个更大问题的特例吗？你有必要在数学构造中明确地考虑这个定位问题，由于在你回答这个问题之前，它会一贯萦绕在读者的脑海中。如果不能办理这个问题，读者会感到非常不满意。
除了供应数学逻辑图来帮助读者在数学领域内定位您的事情，您还必须帮助他们理解您事情的内部组织：
你的结果集中在一个突出的定理里吗？或者你有几个干系但同样主要的定理吗？你找到主要的反例了吗？你的研究是在定理证明的意义上的纯粹的理论数学，还是你的研究涉及到几种不同类型的运用？例如，在打算机上仿照一个问题，证明一个定理，然后做与你的事情有关的物理实验？你的事情是朝着办理一个经典问题迈出了清晰（只管很小）的一步，还是一个新问题？由于你的读者直到读完你的论文后才知道你要证明什么，以是应提前见告他他要读什么，这将使他更加享受“阅读旅行”的乐趣，并理解更多你勾引他去做的事情。
要老实而刻意地阐明你的事情与数学研究的大局符合，可能须要非常谦逊。你可能会对自己的造诣显得很小而感到失落望。不要烦恼！
数学已经积累了数千年，是基于数千（或数百万）从业者的事情。有人说，纵然是最好的数学家，在他们的生平中也很少有超过一个真正精彩的想法。如果你是高中生的话，那真是太令人惊异了！
一旦你考虑了研究的构造和干系性，你就准备好概述你的论文了。研究论文的公认格式在数学上的定义比其他许多科学领域要严格得多。你有足够的空间来制订一个特殊适宜你论文的大纲。但是，论文险些总是包括几个标准部分：背景、简介、正文和未来的事情。背景将有助于勾引你的读者，供应你将带他去哪里的第一个想法。在背景中，您将给出问题历史的最明确描述，只管提示和引用可能会放在论文的其他地方。读者希望在本节中回答一些问题：他为什么要读这篇论文？这篇论文的重点是什么？这个问题是从哪里来的？这个领域已经知道了什么？为什么作者认为这个问题很有趣？例如，如果他不喜好偏微分方程，就该当提前警告他会碰着它们。如果他不熟习概率的第一个观点，那么如果你的论文依赖于这种理解，他该当提前得到警告。请记住，只管你可能花了几百个小时来办理你的问题，但你的读者希望在几分钟内把所有这些问题都清楚地回答出来。
在论文的第二部分，导言部分，你将开始勾引读者进入你的事情，特殊是从大局到详细结果的放大。这里是先容定义和引理的地方，这些定义和引理是该领域的标准，但是您的读者可能不知道。
正文由几个部分组成，包含了你大部分的事情。当你到达末了一节“研究意义”时，你可能已经厌倦了你的问题，但是这一节对你的读者来说是至关主要的。作为论文主题的天下专家，您处于一个独特的环境中，可以辅导您所在领域的未来研究。喜好你论文的读者可能想连续在你的领域事情。他（她）自然会有她/他自己的问题，但你在写了这篇论文之后，会比你的读者更清楚哪些问题可能有趣，哪些问题可能没有趣。如果你连续研究这个话题，你会问什么问题？此外，对付某些论文，您的事情可能会有主要影响。如果你研究过一个物理征象的数学模型，那么在物理天下中，你的数学事情的结果是什么？这些问题是你的读者希望在论文的末了一节中回答的。你该当把稳不要让他们失落望！
三、正式和非正式先容
一旦你有了论文的基本大纲，你该当考虑“由定义、定理和证明组成的正式构造或逻辑构造，以及由动机、类比、例子和数学阐明组成的补充性非正式或先容性材料。在任何数学表达中，都该当明显地保持材料的这种划分，由于主题的实质首先哀求逻辑构造清晰。”（p.1）这两种类型的材料并行涌现，以使读者能够从逻辑和认知两方面理解你的事情（这常日是非常不同的——你们中有多少人认为在证明微积分的基本定理之前，积分可以用反导数来打算？）。由于正式构造不依赖于非正式构造，作者可以在添加任何非正式构造之前，详细地写下前者。
因此，写作过程的下一个阶段可能是制订论文逻辑构造的大纲。问有几个问题可能会有所帮助：首先，你到底证明了什么？这些定理所依据的引理是什么（你自己的或他人的）。这些定理的推论是什么？在决定哪些结果称为引理、哪些定理和哪些推论时，问问自己哪些是中央思想。哪一个是自然地从别人那里来的，哪一个是真正的贡献？写作的构造哀求你的假设和推论必须符合线性顺序（即由大略到繁芜的顺序）。对付这种线性构造，引理的繁芜程度越来越高，一个接一个，直到一个定理被证明，随后是一系列越来越繁芜的推论。然而，很少有研究论文真正具有这样的线性构造，而是反过来，看起来就像繁芜的图形，个中几个基本假设以繁芜的办法与一些众所周知的定理相结合，可能有几个看似独立的推理路线会在末了一步聚拢。事实上，任何断言都该当从它所依赖的引理和定理得出。可能有许多知足这一哀求的线性顺序。鉴于这一困难，你有任务首先自己理解这一构造，其次，安排你写作的一定线性构造，以尽可能反响你论文的构造。当然，这一写作的确切办法取决于详细情形。
帮助您揭示论文繁芜逻辑构造的一种方法是精确地命名结果。通过适当地命名你的结果（引理作为根本，定理作为核心结果，推论作为扫尾事情），你将在你的引理中创造出某种平行感，帮助你的读者欣赏和快速游览哪些是你关键的想法，而不能让读者费劲地彷佛与你进行一起研究一样。
另一种发展简明逻辑大纲的办法来源于《如何写数学》的作者保罗·霍尔莫斯（Paul Halmos）的警告：从不重复证明。
如果定理2证明中的几个步骤与定理1证明中的某些部分非常相似，那么这是一个旗子暗记，表明某些东西可能没有被完备理解。同一毛病的其他症状是：“利用与定理1的证明中相同的技能（或方法、装置或技巧）”，或冒失地利用“拜会定理1的证明”。当这种情形发生时，很有可能值得布局一个可公式化和可证明的引理，从这个引理可以更随意马虎、更清楚地推导出定理1和定理2。（第35页）
在你开始写论文之前，这些构造问题该当经由寻思熟虑，只管写作本身的过程确实有助于你更好地理解构造。
我们已经谈论完了正式构造，现在我们就转向非正式构造。
正式构造包含正式定义、定理证明格式和严谨的逻辑，这是“纯”数学的措辞。非正式构造是正式构造的补充。它利用不那么严格（但也同样准确）的措辞，在阐明作品的数学位置和更具认知性的呈现中起着重要的浸染。由于只管数学家用逻辑措辞写作，但实际上很少有人用逻辑措辞思考(只管我们确实用逻辑思维)，因此为了理解你的事情，他们将会极大地受益于对为什么某事是真的以及你是如何证明这样一个定理的奇妙论证。在你写作之前，在这些非正式的章节中概述你希望互换的内容，很可能会让互换更有效。
在开始写之前，您还必须考虑数学符号。符号的选择是撰写研究论文的关键部分。实际上，你正在发明一种你的读者为了理解你的论文必须学习的措辞。好的符号首先让读者忘却他正在学习一种新的措辞，其次供应了一个框架，在这个框架中，你的证明的要点被清楚地理解了。另一方面，糟糕的注释是灾害性的，可能会阻挡读者阅读你的论文。在大多数情形下，遵照老例是明智的。例如，不要对函数利用x（f），而该当按老例利用f(x)。
四、证明
写一个好的证明的第一步是对定理的陈述。一个说话得当的定理会使写证明变得随意马虎得多。定理的陈述首先该当包含精确的假设。当然，必须包括所有必要的假设。另一方面，应尽可能滤除无关的假设，由于无关假设只会让读者分散把稳力，无法将把稳力集中在你定理要表达的不雅观点上。
当你写证明的时候，就像写整篇论文一样，你必须以线性的顺序，写下一组假设和推论，这些假设和推论在形式上可能不是线性的。我建议，在你写作之前，你先把假设和推论制定出来，并试图以一种对读者造成最少混乱的办法对陈述进行排序。
在《如何写数学》中，哈尔莫斯（Halmos）供应了几个关于编写证明的主要建议：
1. 用正向证明方法，而不是逆向证明方法。逆向证明的优点是随意马虎被机器验证，但不适宜被人理解。正向证明的安排是可以理解和影象的。（第43页）
2. 避免不必要的符号。考虑由等号分开的一长串表达式组成的证明。这样的证明很随意马虎写。作者从第一个方程开始，进行自然更换得到第二个方程，合并同类项、置换、插入并去掉一个中间因子，然后通过这些步骤进行，直到他得到末了一个方程。这种证明又是一次编码，读者不仅被迫一边学习，还一边去解码。这种让包袱翻倍的做法是不必要的。应多花10分钟写一个笔墨性段落，用以先容证明过程的窍门，取代那些只报告结果和须要读者预测的无用过程。这段话可以是这样的：“作为证明，首先用P代替Q，然后合并同类项，置换因子，末了插入并取消一个因子R。”（第42-43页）
五、详细建议
在任何形式的互换中，都有一定的文体习气，这会使你的写作或多或少地被理解。写完初稿后，最好对这些内容进行检讨和更正。我这些想法中的许多来自《如何写数学》，并且在那里更充分地证明了其合理性。
前面已定义的符号在连续几页乃至几段中如果没有被利用，再次涌现时应交代在前面哪里定义了或者重新提示其意义。
论文的构造应做到很随意马虎地通过你的标题和标点符号来识别。
在全体论文中，该当对所涉及的问题有一个清晰的定义。
论文标题是读者打仗你的论文的第一个要素。它必须向你所在领域的专家以及感兴趣的新手传达某种信息。因此，术语在技能上必须是精确的。
不要过度利用标点符号，如句点或逗号。它们很随意马虎被读者看漏，并且这样的漏读会导致回溯、混乱和耽搁。不要以符号作为句子的开头。如果你坚持在句子开头提到符号所表示的东西，那么在符号之前加上适当的术语，例如，“凑集x属于C类，…”而不是“x属于C类，…”。对付逗号也是如此。不要利用“对付可逆x，x也是可逆的”，而要利用“对付可逆x，伴随x也是可逆的。”（第44页）
在所有的数学高下文中，我推举“如果”（“if”）与“那么”（“then”）连起来利用，由于“那么”的存在永久不会引起稠浊。
另一个关键特性是页面的布局或架构。“如果它看起来像纯朴的口语文，它会令人生畏且显得呆板；如果它看起来像打算散列充满数学符号，则会显得恐怖和繁芜。中庸之道是黄金。把它拆开，但不要太小；用口语文，但不要太多。穿插足够多的展示，给眼睛一个帮助大脑的机会；利用符号，但在足够多的口语文中间，以防止大脑淹没在一堆后缀之中。”（第44-5页）
同一符号不能用于多个事物；如果在一个证明中利用n作为计数，则不才一个证明中利用m，除非这两个符号在每一个证明中都起着相似的浸染。
所有符号都该当故意义（没有自由变量）：“避免利用不必要的符号。例如“在紧凑空间上，每个实值连续函数f都是有界的”，这里符号“f”对该语句的清晰度没有任何贡献。（第41页）
在日常英语中，“any”是一个模棱两可的单词。到底是指一个限定的量词（如\"大众if anyone can do it, he can\"大众)）还是指一个通用的量词（如\"大众any number can play\"大众），取决于高下文。因此，不要在数学写作中利用“any”。用“each”或“every”更换，或改写全体句子（第38页）
不要事后定义，例如，不要利用“如果n足够大，那么an<e，个中e是预先指定的正数”。不要利用“等价”，由于定理的“等价”是逻辑上的废话。这里所说的“定理”是指一个数学真理，一个已经被证明的东西。一个故意义的陈述可能是缺点的，但一个定理不能。至于“如果……那么……如果……那么”，这只是一个写作快手和慢速读者常犯的文体缺点。例如，“如果P，那么Q，那么R”虽然在逻辑过意得去，但从生理上来说可能把读者绊住。如果依据本身意义哀求，改成“如果P和Q，那么R”或者“在P的存不才，假设Q则意味着结论R”会更清晰。
用反例来解释定理条件的必要性。精确利用词语：区分功能和代价。
